№40024

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, Решение прямоугольных треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Две окружности, расстояние между центрами которых равно \(d\), ка­саются внешним образом. Найдите радиусы этих окружностей, если угол между их общими внешними касательными равен \(2\alpha\).

Ответ

\(R_{1} = \fraq{1}{2}d(\sin{\alpha} +1)\); \(R_{2} = \fraq{1}{2}d(1 - \sin{\alpha})\).

Решение № 40008:

\(\Delta CDK = \Delta EDK\) и \(\Delta BDA = \Delta FDA\) по трем сторонам, тогда \(\angle BDA = \angle ADF = \fraq{\angle BDF}{2}\); \(\angle BDA = \alpha\). \( \begin{equation*} \begin{cases} \(CK = KD\sin \alpha\); \(AB = AD\sin \alpha\); \end{cases} \end{equation*} \) но \(AD = AK + KD = d + KD \Rightarrow\) \( \begin{equation*} \begin{cases} \(CK = KD\sin \alpha\); \(AB = d\sin \alpha + KD\sin \alpha\); \end{cases} \end{equation*} \) \(\Rightarrow AB - CK = d\sin \alpha\). Пусть \(AB = R_{1}\), \(CK = R_{2}\). Тогда \(AO = R_{1}\) и \(OK = R_{2}\), но \(AO + OK =d\). Следовательно: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(R_{1} - R_{2} = d\sin{\alpha}\); \(R_{1} + R_{2} = d\); \end{cases} \end{equation*} \) \( \begin{equation*} \begin{cases} \(R_{1} = \fraq{1}{2}d(\sin{\alpha} +1)\); \(R_{2} = \fraq{1}{2}d(1 - \sin{\alpha})\). \end{cases} \end{equation*}. \)