№40015

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, Решение прямоугольных треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Радиус окружности, вписанной в ромб с острым углом \(\alpha\), равен \(r\). Найдите сторону и площадь ромба.

Ответ

\(S = \fraq{4r^2}{\sin{\alpha}}\); \(AB = \fraq{2r}{\sin{\alpha}}\).

Решение № 39999:

По свойству диагоналей ромба \(АС\) - биссектриса \(\agnle BCD = \alpha\), тогда: \(\fraq{r}{OC} = \sin{\fraq{\alpha}{2}}\); \(OC = \fraq{d_{1}}{2} = \fraq{r}{\sin{\fraq{\alpha}{2}}}\); \(\angle OBC = 90^\circ - \fraq{\alpha}{2}\), тогда \(ОВ = \fraq{d_{2}}{2} = \fraq{r}{\sin{(90^\circ - \fraq{\alpha}{2})}} = \fraq{r}{\cos{\fraq{\alpha}{2}}}\), \(S = \fraq{d_{1}d_{2}}{2} = \fraq{2r^2}{\sin{\fraq{\alpha}{2}} \cdot \cos{\fraq{\alpha}{2}}} = \fraq{4r^2}{\sin{\alpha}}\); \(AB = \fraq{OB}{\cos{\fraq{\alpha}{2}}} = \fraq{d_{1}}{2\cos{\fraq{\alpha}{2}}} = \fraq{r}{\sin{\fraq{\alpha}{2}}\cos{\fraq{\alpha}{2}}} = \fraq{2r}{\sin{\alpha}}\).