№39929

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Внутри треугольника \(АВС\) выбрана точка \(М\) такая, что тре­угольники \(АМВ\), \(ВМС\) и \(АМС\) равновеликие. Докажите, что \(М\) - точка пересечения медиан треугольника \(АВС\).

Ответ

NaN

Решение № 39913:

\(S_{AMC} = \fraq{1}{2}MH_{2} \cdot AC\); \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}BH_{1} \cdot AC\). По условию \(S_{ABC} = 3\(S_{AMC}\), тогда \(ВН_{1} \cdot АС = 3МН_2 \cdot AC \Rightarrow BH_{1} = 3МН_{2}\). \(S_{ABB_{1}} = S_{AMB_{1}} + S_{ABM} = S_{AMB_{1}} + S_{AMC} = \fraq{1}{2}AB_{1} \cdot МН_{2} + \fraq{1}{2}AC \cdot МН_{2}\). С другой стороны: \(S_{ABB_{1}} = \fraq{1}{2}AB_{1} \cdot BН_{1} = \fraq{1}{2}AB_{1} \cdot 3МН_{2}\), тогда \(3AB_{1} \cdot МН_{2} = AB_{1} \cdot МН_{2} + AC \cdot МН_{2}\), \(3AB_{1} = AB_{1} + AC\), тогда \(АС = 2AB_{1}\) или \(AB_{1} = \fraq{AC}{2}\), следовательно, \(ВВ_{1}\) - медиана. Доказательство для \(АА_{1}\) и \(СС_{1}\) проводится аналогично.