№39928
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Докажите, что площадь трапеции \(АВСD\) равна произведению боковой стороны \(АВ\) на перпендикуляр, проведенный из середины \(М\) другой боковой стороны \(СD\) к прямой \(АВ\).
Ответ
NaN
Решение № 39912:
Проведем среднюю линию \(ML\). Если \(BC = a\), \(AD = b\), то по свойству средней линии \(ML \parallel BC\), \(ML \parallel AD\) и \(ML = \fraq{a + b}{2}\). \(S = S_{\Delta BML} + S_{\Delta BCM} + S_{ALMD} = S_{1} + S_{2} + S_{3}\). \(S_{\Delta BML} = \fraq{BL \cdot HM}{2}\). Т. к. \(BL = \fraq{1}{2}AB\), то \(S_{1} = S_{\Delta BML} = \fraq{1}{4}AB \cdot HM\); \(S_{2} = S_{\Delta BCM} = \fraq{1}{2}BC \cdot \fraq{h}{2} = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{ah}{2} = \fraq{1}{4}ah\); \(S_{3} = \fraq{LM + AD}{2} \cdot \fraq{h}{2} = \fraq{1}{2}(\fraq{a + b}{2} + b) \cdot \fraq{h}{2}\). Тогда \(S_{2} + S_{3} = \fraq{h}{4} \cdot (\fraq{a + b}{2} + b + a) = \fraq{3}{8}(a + b)h\). Но с другой стороны: \(S_{1} = \fraq{1}{2}LM \cdot \fraq{h}{2} = \fraq{1}{2} \cdot (\fraq{a + b}{2}) \cdot \fraq{h}{2} = \fraq{1}{8}(a + b)h\). Тогда \(S_{2} + S_{3} = 3S_{1}\). Следовательно, \(S_{ABCD} = 4S_{1} = 4 \cdot \fraq{1}{4}AB \cdot HM\); \(S_{ABCD} = AB \cdot HM\).