№39927
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
В трапеции \(АВСD\) с основаниями \(АD\) и \(ВС\) диагонали пересекаются в точке \(О\). Найдите площадь трапеции, если \(S_{BOC} = S_{1}\), \(S_{AOD} = S_{2}\).
Ответ
\((\sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}})^2\).
Решение № 39911:
\( \begin{equation} \left.\begin{gathered} \(\angle CAD = \angle ACB\) \(\angle DBC = \angle BDA\) \end{gathered}\right\} \end{equation} \) внутренние накрест лежащие при \(BC \parallel AD\); \(\angle AOD = \angle BOC\) - вертикальные. Тогда \(\Delta AOD \sim \Delta COB \Rightarrow \fraq{h_{1}}{h_{2}} = \fraq{BC}{AD}\). Для площадей получаем: \(S_{1} = \fraq{1}{2}AD \cdot h_{2}\). T. к. треугольники подобны, то \(\fraq{h_{1}}{h_{2}} = \fraq{BC}{AD} = \sqrt{\fraq{S_{1}}{S_{2}}}\). Для трапеции: \(S = \fraq{1}{2}(BC + AD) \cdot (h_{1} + h_{2}) = \fraq{1}{2}(BC + BC \cdot \sqrt{\fraq{S_{1}}{S_{2}}}) \cdot (h_{1} + h_{1} \cdot \sqrt{\fraq{S_{2}}{S_{1}}})\); \(S = \fraq{1}{2}BC \cdot h_{1}(1 + \sqrt{\fraq{S_{2}}{S_{1}}})^2\), тогда \(S = S_{1} \cdot (1 + \sqrt{\fraq{S_{2}}{S_{1}}})^2 = (\sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}})^2\).