№39926

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Стороны треугольника \(DЕF\) равны медианам треугольника \(АВС\). Докажите, что \(S_{DEF} : S_{ABC} = 3 : 4\).

Ответ

NaN

Решение № 39910:

Медианы точкой пересечения \(О\) делятся в отношении \(2 : 1\). Поэтому на сторонах \(\Delta DEF\) отмечаем точки \(D_{1}\), \(E_{1}\) и \(F_{1}\) так, что \(DF_{1} : F_{1}E = 2 : 1\); \(DE_{1} : E_{1}F = 1 : 2\) и \(ED_{1} : D_{1}F = 2 : 1\). Тогда \(\Delta E_{1}D_{1}F = \Delta ОB_{1}С\) по двум сторонам (\(OB_{1} = D_{1}F\) и \(OC = E_{1}F\)) и углу между ними (\(\angle B_{1}OC = \angle E_{1}FD_{1}\)). Аналогично \(\Delta EF_{1}D_{1} = \Delta BA_{1}O\) и \(\Delta DF_{1}E_{1} = \Delta C_{1}OA\). В задаче № 593 было доказано, что: \(S_{OB_{1}C} = S_{BOA_{1}} = S_{C_{1}OA_{1}} = \fraq{S_{ABC}}{6}\), тогда \(S_{DE_{1}F_{1}} + S_{F_{1}ED_{1}} + S_{D_{1}E_{1}F} = 3 \cdot \fraq{S_{ABC}}{6} = \fraq{1}{2}S_{ABC}\). Из равенства треугольников также следует, что \(E_{1}D_{1} = B_{1}C_{1} = \fraq{AC}{2}\); \(D_{1}F_{1} = BA_{1} = \fraq{BC}{2}\) и \(F_{1}E_{1} = AC_{1} = \fraq{BA}{2} \Rightarrow \Delta F_{1}E_{1}D \sim \Delta ABC\). По теореме о площадях подобных треугольников: \(S_{F_{1}D_{1}E_{1}} = \fraq{1}{4}S_{ABC}\); тогда \(S_{FDE} = S_{F_{1}D_{1}C_{1}} + S_{DE_{1}F_{1}} + S_{D_{1}E_{1}F} + S_{D_{1}EF_{1}} = \fraq{1}{4}S_{ABC} + \fraq{1}{2}S_{ABC} \Rightarrow \fraq{S_{DEF}}{S_{ABC}} = \fraq{3}{4}\).