№39925

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Докажите, что для четырехугольника со сторонами \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и площадью \(S\) выполняется неравенство \(S < (ab + cd) : 2\).

Ответ

NaN

Решение № 39909:

\(S_{ABC} = \fraq{1}{2}AB \cdot AC \sin \alpha\). Обозначим \(AB = х\) и \(АС = у\), тогда \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}xy\sin \alpha = S\). С другой стороны: \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}AB \cdot CC_{1} = \fraq{1}{2}x \cdot CC_{1}\), тогда \(х \cdot CC_{1} = ху\sin \alpha \Rightarrow CC_{1} = y\sin \alpha\); \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}AC \cdot BB_{1} = \fraq{1}{2}y \cdot BB_{1}\), тогда \(y \cdot BB_{1} = xy\sin \alpha \Rightarrow BB_{1} = x\sin \alpha\). \(\tan \alpha = \fraq{a}{b}\), тогда: \(\fraq{CC_{1}}{C_{1}A} = tan \alpha\) и \(\fraq{BB_{1}}{B_{1}A} = \tan \alpha\), откуда \(C_{1}A = \fraq{CC_{1}}{\tan \alpha}\) и \(B_{1}A = \fraq{BB_{1}}{\tan \alpha}\). \(S_{AB_{1}C_{1}} = \fraq{1}{2}AB_{1} \cdot AC_{1}\sin \alpha = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{BB_{1}}{\tan \alpha} \cdot \fraq{CC_{1}}{\tan \alpha} \cdot \sin \alpha = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{xy\sin^3 \alpha}{\tan^2 \alpha}\), но \(\fraq{1}{2}xy\sin \alpha = S\), а \(\tan \alpha = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), тогда \(S_{AB_{1}C_{1}} = S\cos^2 \alpha\).