№39924

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

а) Площадь описанной прямоугольной трапеции равна произведению ее оснований. Докажите. б) Высота описанной равнобокой трапеции является средним про­порциональным ее оснований. Докажите.

Ответ

NaN

Решение № 39908:

a) \(S = \fraq{BC + AD}{2} \cdot BA\). Обозначим \(ВС = х\) и \(AD = у\) и примем \(ВА = 2r\), где \(r\) - радиус окружности. Тогда \(S = (x + y) \cdot r\). Для описанной трапеции оправедливо: \(AB + CD = BC + AD\), тогда \(2r + CD = x + у\). По теореме Пифагора: \(CD = \sqrt{(2r)^2 + (y - x)^2}\); \(\sqrt{(2r)^2 + (y - x)^2} = x + y - 2r\). Возводим в квадрат: \(4r^2 = (y - x)^2 = (x + y)^2 - 4r(x + y) + 4r^2\); \(y^2 - 2xy + x^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 4r(x + y)\); \(4ху = 4r(x + y) \Rightarrow r(x + y) = х \cdot y\); но \(r(x + y) = S\), тогда \(S = x \cdot y = BC \cdot AD\). б) Для описанной трапеции справедливо: \(BC + AD = AB + CD\). В равнобедренной трапеции \(АВ = CD\). Обозначив \(ВС = x\) и \(AD = у\), получим \(x + y = 2AB \Rightarrow AB = \fraq{x + y}{2}\). Но для равнобедренной трапеции \(AB_{1} = \fraq{AD - BC}{2} = \fraq{х - y}{2}\). Тогда по теореме Пифагора: \(h^2 = AB^2 - BB_{1} = (\fraq{x + y}{2})^2 - (\fraq{x - y}{2})^2 = \fraq{xy}{2} + \fraq{xy}{2} = xy\). Тогда \(h = \sqrt{xy}\); \(h = \sqrt{BC \cdot AD}\).