№39923
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Вычислите площадь треугольника по двум взаимно перпендикулярным медианам \(m_{a}\) и \(m_{b}\).
Ответ
\(\fraq{2}{3}m_{b}m_{c}\).
Решение № 39907:
Точка пересечения медиан делит их в отношении \(2 : 1\), следовательно: \(OC = \fraq{2m_{c}}{3}\); \(C_{1}O = \fraq{1}{3}m_{c}\); \(BO = \fraq{2}{3}m_{b}\); (B_{1}O = \fraq{1}{3}m_{b}\). \(S_{BB_{1}C} = S_{BOC} + S_{B_{1}OC} = \fraq{1}{2}BO \cdot OC + \fraq{1}{2}B_{1}O \cdot OC = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{2}{3}m_{b} \cdot \fraq{2}{3}m_{c} + \fraq{1}{2} \cdot \fraq{1}{3}m_{b} \cdot \fraq{2}{3}m_{c}\); \(S_{BB_{1}C} = \fraq{2}{9}m_{b}m_{c} + \fraq{1}{9}m_{b}m_{c} = \fraq{1}{3}m_{b}m_{c}\). Но \(AB_{1} = B_{1}C\) - по определению медианы, тогда: \(S_{ABB_{1}} = \fraq{1}{2}AB_{1} \cdot h_{b} = \fraq{1}{2}h_{b} \cdot B_{1}C = S_{B_{1}BC} = \fraq{1}{3}m_{b}m_{c}\), следовательно, \(S_{ABC} = \fraq{2}{3}m_{b}m_{c}\).