№39922
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Докажите, что для треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) и площадью \(S\) выполняется неравенство \(S < (ab + bc + ac) : 6\).
Ответ
NaN
Решение № 39906:
Площадь треугольника можно найти по формуле: \(S = \fraq{1}{2}ab\sin \gamma = \fraq{1}{2}bc\sin \alpha = \fraq{1}{2}ac\sin \beta\), но \(sin \alpha \leq 1\); \(sin \beta \leq 1\); \(sin \gamma \leq 1\) (причем равенство достирается, когда угол равен \(90^\circ\), что невозможно для всех трех углов одновременно) тогда очевидно, что \(3S < \fraq{1}{2}(ab + bc + ac)\), следовательно, \(S < \fraq{ab + bc + ca}{6}\).