№39921

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна про­изведению отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу.

Ответ

NaN

Решение № 39905:

\(BO\), \(AO\), \(CO\) - биссектрисы углов \(\angle DBE\), \(\angle DAF\) и \(\angle FCE\) соответственно. Тогда \(\angle DBO = \angle EBO = 45^\circ\); \(\angle DAO = \angle FAO\); \(\angle FCO = \angle ECO\). \(DO = OE = OF = R\). \(\Delta DBO\) и \(\Delta ЕВО\) - равнобедренные по признаку (углы при основаниях по \(45^\circ\)), тогда \(DB = BE = DO = OE = R\). \(S_{DBEO} = R^2\). \(\Delta DOA = \Delta FOA\) по общей стороне \(ОА\) и равному острому углу, тогда \(S_{ADOF} = 2S_{ADO} = 2 \cdot \fraq{1}{2} \cdot R \cdot AD\). Пусть \(AD = AF = x\), тогда \(S_{ADOF} = Rx\). Аналогично: \(S_{EOFC} = Ry\), где \(у = ЕС = FC\). \(S_{ABC} = S_{DBEO} + S_{ADOF} + S_{EOFC} = Rx + R^2 + Ry\). С другой стороны: \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}AB \cdot BC = \fraq{1}{2}(AD + DB) \times (BE + EC) = \fraq{1}{2}(R + x)(R + y)\). Тогда \(Rx + R^2 + Ry = \fraq{1}{2}(R^2 + Rx + Ry) + \fraq{1}{2}ху\); \(\fraq{1}{2}xy = \fraq{1}{2}(Rx + R^2 + y^2)\); \(ху = Rx + R^2 + y^2\); но \(Rx + R^2 + y^2 = S_{ABC}\), тогда \(S_{ABC} = xy\). Вспомним, что \(х = AF\), \(y = FC\), тогда \(S_{ABC} = AF \cdot FC\).