№39920

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Докажите, что треугольник с высотами 12,15 и 20 - прямоугольный.

Ответ

NaN

Решение № 39904:

Из равенства площадей получаем: \(h_{c} \cdot c = h_{a} \cdot a = h_{b} \cdot b\), тогда \(c = a \cdot \fraq{h_{a}}{h_{c}}\) и \(b = a \cdot \fraq{h_{a}}{h_{b}}\). \(c = a \cdot \fraq{15}{12} = \fraq{5}{4}a\); \(b = a \cdot \fraq{15}{20} = \fraq{3}{4}a\); \(b^2 + a^2 = (\fraq{3}{4}a)^2 + a^2 = (\fraq{9}{16} + 1) \cdot a^2 = \fraq{25}{16} \cdot a^2 = (\fraq{5}{4}a)^2 = c^2\). Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, данный треугольник - прямоугольный.