№39918

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Дан треугольник \(АВС\). Постройте: а) равнобедренный треугольник с основанием \(АВ\), равновеликий треугольнику \(АВС\); б) прямоугольный треугольник с гипотенузой \(АВ\), равновеликий треугольнику \(АBС\). В каком случае это сделать невозможно?

Ответ

Если \(c^2 < 4h^2\), то такой треугольник построить невозможно.

Решение № 39902:

a) Шаг 1: Через точку \(С\) проводим прямую \(l \parallel AB\). Шаг 2: Точкой \(М\) делим отрезок \(АВ\) пополам. Через эту точку проводим прямую \(m \perp l\) (и \(m \perp AB\)). Точка пересечения \(m\) и \(l\) - \(C'\) - вершина искомого треугольника. \(S_{ABC} = S_{ABC'}\) и \(BC' = C'A\). б) Шаг 1: Проводим через точку \(С\) прямую \(l \parallel AB\). Пусть расстояние между прямыми \(h \Rightarrow h^2 = a_{c}b_{c}\), но \(a_{c} + b_{c} = c\), тогда: \(h^2 = a_{c}(c - a_{c})\); \(a_{c}^2 - a_{c} \cdot c + h^2 = 0\). Решаем это уравнение: \(D = c^2 - 4h^2\); \(a_{c} = \fraq{c \pm \sqrt{c^2 - 4h^2}}{2}\). Шаг 2: измеряем \(с\) и \(h\), если \(c^2 > 4h^2\), то прямоугольный треугольник построить можно и, вычислив \(a_{c}\), откладываем его на \(АВ\), проводим перпендикуляр на прямую \(l\) и получаем искомую вершину. Если \(c^2 < 4h^2\), то такой треугольник построить невозможно.