№39916
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Если диагонали четырехугольника \(АВСD\) пересекаются в точке \(О\), причем \(S_{AOB} = S_{COD}\), то \(АВСD\) - параллелограмм или трапеция. Докажите.
Ответ
NaN
Решение № 39900:
\( \begin{equation*} \begin{cases} \(S_{ADC} = \fraq{1}{2}CC_{1} \cdot AD\); \(S_{DAB} = \fraq{1}{2}BB_{1} \cdot AD\); \end{cases} \end{equation*} \) тогда \( \begin{equation*} \begin{cases} \(S_{AOB} = S_{ADB} - S_{ADO}\); \(S_{DOC} = S_{ADC} - S_{ADO}\). \end{cases} \end{equation*} \) T. к. \(S_{AOB} = S_{DOC}\), то \(S_{ADB} - S_{ADO} = S_{ADC} - S_{ADO} \Rightarrow S_{ADB} = S_{ADC}\). Следовательно, \(\fraq{1}{2}CC_{1} \cdot AD = \fraq{1}{2}BB_{1} \cdot AD\), откуда \(CC_{1} = BB_{1}\), тогда \(BC \parallel DA\) и по определению \(DABC\) - трапеция или параллелограмм.