№39914
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Основания трапеции относятся как \(2 : 3\), а ее площадь равна \(50 см^2\). Найдите площади: а) двух треугольников, на которые данная трапеция делится диагональю; б) четырех треугольников, на которые данная трапеция делится диагоналями.
Ответ
\(S_{1} = 30 (см^2)\); \(S_{2} = 20 (см^2)\); \(S_{3} = 12 (см^2)\); \(S_{4} = 12 (см^2)\); \(S_{5} = 8 (см^2)\); \(S_{6} = 18 (см^2)\).
Решение № 39898:
а) Пусть \(а = 2х\), тогда \(b = 3х\). Если высота трапеции равна \(h\), то \(S = \fraq{a + b}{2} \cdot h = \fraq{5}{2}xh\); \(xh = \fraq{50 \cdot 2}{5} = 20 (см^2)\). \(S_{2} = \fraq{a}{2}h = \fraq{2}{2}xh = xh = 20 (см^2)\); \(S_{1} = \fraq{b}{2}h = \fraq{3}{2}xh = \fraq{3}{2} \cdot 20 = 30 (см^2)\). б) \(\fraq{h_{5}}{h_{6}} = \fraq{a}{b}\) - из подобия треугольников; \(\fraq{h_{5}}{h_{6}} = \fraq{2}{3} \Rightarrow h_{5} = \fraq{2}{5}h\) и \(h_{6} = \fraq{3}{5}h\), тогда \(S_{5} = \fraq{1}{2}h_{5}a = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{2}{5}h \cdot 2x = \fraq{2}{5} \cdot 20 = 8 (см^2)\). \(S_{3} = S_{2} - S_{5} = 20 - 8 = 12 (см^2)\). \(S_{6} = \fraq{1}{2}h_{6}a = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{3}{5}h \cdot 3x = \fraq{9}{10}hx = \fraq{9}{10} \cdot 20 = 18 (см^2)\). \(S_{4} = S_{1} - S_{6} = 30 - 18 = 12 (см^2)\).