№39913

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Пользуясь рис. 170, докажите методом пло­щадей свойство биссектрисы треугольника.

Ответ

NaN

Решение № 39897:

Проведем высоту \(BN\), тогда: \(S_{ABM} = \fraq{1}{2}BN \cdot AM\) и \(S_{BMC} = \fraq{1}{2}BN \cdot MC\). Но с другой стороны: \(S_{ABM} = \fraq{1}{2}MH \cdot AB\) и \(S_{BMC} = \fraq{1}{2}DM \cdot BC\). Получаем систему уравнений: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(BN \cdot MA = MH \cdot AB\); \(BN \cdot MC = BC \cdot MD\); \end{cases} \end{equation*} \) \(\Rightarrow\) \( \begin{equation*} \begin{cases} \(BN = \fraq{MH \cdot AB}{MA}\); \(BN = \fraq{BC \cdot MD}{MC}\). \end{cases} \end{equation*} \) Тогда \(\fraq{AB}{AM} \cdot MH = \fraq{BC}{MC} \cdot MD\), но по условию \(MH = MD\), следовательно, \(\fraq{AB}{BC} = \fraq{AM}{MC}\).