№39878

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь четырехугольника, площадь ромба, площадь треугольника, площадь трапеции,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В трапеции \(ABCD\) основания \(ВС\) и \(AD\) равны \(2 см\) и \(8 см\) соответственно. Диагонали трапеции пересекаются в точке \(О\). Найдите отношение: а) \(\fraq{CO}{AC}\); б) \(\fraq{OD}{BD}\); в) отрезков, на которые точка \(О\) делит высоту трапеции; г) площадей треугольников \(ВОС\) и \(AOD\) (выскажите предположение).

Ответ

Ответ: \(S_{BOC} : S_{AOD} = 1 : 16\)

Решение № 39862:

Рассмотрим \(Delta BOC\) и \(Delta OAD\): \(\angle BOC = \angle AOF\) - вертикальные \(\angle OBC = \angle AOD\) \(\angle BCO = \angle OAD\) - внутренние накрест лежащие при \(BC \parallel AD\) и секущих \(BD\) и \(AO\), тогда \(\Delta BCO \sim \Delta DAO\) по трем углам. Из подобия: \(\fraq{AO}{OC} = \fraq{AD}{BC}\); следовательно, \(\fraq{AO}{OC} + 1 = \fraq{AD}{BC} + 1\); \(\fraq{AO + OC}{OC} = \fraq{AD + BC}{BC}\); \(\fraq{AC}{OC}= \fraq{AD + BC}{BC}\); перевернем дроби: \(\fraq{OC}{AC} = \fraq{BC}{AD + BC} = \fraq{2}{2 + 8} = \fraq{1}{5}\) Ответ: \(OC : AC = 1 : 5\) б) Из подобия треугольников: \(\fraq{BO}{OD} = \fraq{BC}{AD}\); \(\fraq{BO}{OD} + 1 = \fraq{BC}{AD} + 1\); \(\fraq{BO + OD}{OD} = \fraq{BC + AD}{AD}\); \(\fraq{OD}{BD} = \fraq{AD}{BC + AD}\); \(\fraq{OD}{BD} = \fraq{8}{8 + 2} = \fraq{4}{5}\) Ответ: \(OD : BD = 4 : 5\); в) Из подобия треугольников: \(\fraq{OH_{1}}{OH_{2}} = \fraq{AD}{BC}\) \(OH_{1} : OH_{2} = 4 : 1\); Ответ: \(OH_{1} : OH_{2} = 4 : 1\); г) \(\fraq{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \fraq{\fraq{1}{2} BC \cdot OH_{2} }{\fraq{1}{2} AD \cdot OH_{1}} = \fraq{BC}{AD} \cdot \fraq{OH_{2}}{OH_{1}} = \fraq{1}{16}\) Ответ: \(S_{BOC} : S_{AOD} = 1 : 16\)