№39874

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь четырехугольника, площадь ромба, площадь треугольника, площадь трапеции,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

По данным рис. 163 найдите площадь: а) заштрихованной фигуры (см. рис. ниже), если \(ABCD\) параллелограмм; б) треугольника \(АВС\) (см. рис. ниже).

Ответ

Ответ: \(S_{ABC} = 7S\).

Решение № 39858:

a) Так как \(КВ = СМ\) и \(КА = MD\), \(KMBC\) и \(KMBC\) - параллелограммы, следовательно, по свойству противолежащих сторон параллелограмма \(ВС = КМ\) и \(KM = AD\). \(S_{KLM} = \fraq{1}{2}LL_{1} \cdot KM\); \(S_{BKL} = \fraq{1}{2} LL_{1} \cdot BL\), \(S_{LCM} = \fraq{LL_{1}} \cdot LC\); тогда: \(S_{BKL} + S_{LCM} = S_{1} + S_{2} = \fraq{1}{2} LL_{1} (BL + LC) = \fraq{1}{2} LL_{1} \cdot BC = \fraq{1}{2} LL_{1} \cdot KM\); тогда \(S_{KLM} = S_{1} + S_{2}\) Аналогично получаем, что \(S_{KNM} = \fraq{1}{2} N_{1}N \cdot KM = \fraq{1}{2} N_{1}N \cdot AD = \fraq{1}{2} N_{1}N \cdot AD = \fraq{1}{2}N_{1}N \cdot AN + \fraq{1}{2}N_{1}N \cdot ND = S_{KAN} + S_{NMD} = S_{3} + S_{4}\). Тогда: \(S_{KNML} = S_{KNM} + S_{KLM} = S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}\). Ответ: \(S_{KNML}= S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}\). б) Опускаем из вершин \(В\) и \(В_{1}\) на АС высоты \(ВН_{1}\) и \(В_{1}Н_{1}\) Тогда \(\Delta ВН_{1}C_{1} \sim \Delta B_{1}Н_{2}C_{1}\), т. к. \(\angle BC_{1}Н_{1}\) - общий из подобия: \(ВН_{1} : B_{1}Н_{2} = BC_{1} : B_{1}C_{1}\) или \(ВН_{1} = 2B_{1}Н_{2}\). Рассмотрим \(\Delta A_{1}B_{1}C_{1}\) и \(\Delta BC_{1}С\): \(S_{A_{1}B_{1}C_{1}} = \fraq{1}{2} B_{1}Н_{2} \cdot A_{1}C_{1} = S\); \(S_{BC_{1}C} = \fraq{1}{2} BН_{1} \cdot CC_{1} = \fraq{1}{2} \cdot 2 B_{1}Н_{2} \cdot A_{1}C_{1}\); следовательно, \(S_{BC_{1}C} = 2S\). Аналогично доказывается, что \(S_{AA_{1}}C = 2S\) и \(S_{AB_{1}A} = 2S\). Тогда площадь \(\Delta ABC\): \(S_{ABC} = S_{A_{1}B_{1}C_{1}} = S_{BC_{1}}C + S_{ACA_{1}} + S_{ABB_{1}} = S + 2S + 2S + 2S = 7S\) Ответ: \(S_{ABC} = 7S\).