№39872

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь четырехугольника, площадь ромба, площадь треугольника, площадь трапеции,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Через вершину \(А\) параллелограмма \(ABCD\) проведите две прямые, которые делят параллелограмм на три равновеликие части.

Ответ

NaN

Решение № 39856:

Проводим высоты \(АН_{1}\) и \(АН_{2}\) Площадь параллелограмма равна: \(S = AH{1} \cdot DC = AH_{2} \cdot CB\). Делим стороны \(DC\) и \(СВ\) на отрезки так, что выполняются условия: \(DA_{1} : A_{1}C = 2 : 1\) и \(BA_{1} : A_{2}C = 2 : 1\), тогда: \(DA_{1} = \fraq{2}{3} DC\) и \(BA_{2} = \fraq{2}{3}BC\). Площади \(\Delta DAA_{1}\) и \(\Delta BAA_{2}\): \(S_{DAA_{1}} = \fraq{1}{2} AH_{1} \cdot DA_{1} = \fraq{1}{2}AH_{1} \cdot \fraq{2}{3}DC = \fraq{1}{3} AH_{1} \cdot DC = \fraq{1}{3}S\) \(S_{BAA_{1}} = \fraq{1}{2}AH_{2} \cdot BA_{1} = \fraq{1}{2}HH_{2} \cdot \fraq{2}{3}BC = \fraq{1}{3} AH_{2} \cdot BC = \fraq{1}{3}S\) Площадь треугольника \(\Delta A_{1}AA_{2}\): \(S_{A_{1}AA_{2}} = S - S_{DAA_{1}} - S_{BAA_{1}} = S - \fraq{1}{3}S - \fraq{1}{3}S = \fraq{1}{3}S\). Следовательно, отрезки \(АА_{1}\) и \(АА_{2}\) делят параллелограмм \(ABCD\) на три равновеликие части.