№39871
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь четырехугольника, площадь ромба, площадь треугольника, площадь трапеции,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей. Докажите.
Ответ
NaN
Решение № 39855:
Площади треугольников, на которые диагонали разбивают четырехугольник, равны: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(S_{AOB} = \fraq{1}{2}AO \cdot OB\); \(S_{AOD} = \fraq{1}{2}AO \cdot OD\); \(S_{BOC} = \fraq{1}{2}BO \cdot OC\); \(S_{COD} = \fraq{1}{2}CO \cdot OD\); \end{cases} \end{equation*} \) \( \begin{equation*} \begin{cases} \(S_{DAB} = S_{ADO} + S_{AOB} = \fraq{1}{2}AO \cdot OD + \fraq{1}{2}AO \cdot OB = \fraq{1}{2}AO \cdot BD\); \(S_{BCD} = S_{BOC} + S_{COD} = \fraq{1}{2}BO \cdot OC + \fraq{1}{2}DO \cdot OC = \fraq{1}{2}OC \cdot BD\); \end{cases} \end{equation*} \) \(S_{ABCD} = S_{DAB} + S_{BCD} = \fraq{1}{2}AO \cdot BD + \fraq{1}{2}OC \cdot BD = \fraq{1}{2}BD(AO + OC) = \fraq{1}{2}BD \cdot AC\).