№39867
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь четырехугольника, площадь ромба, площадь треугольника, площадь трапеции,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Найдите площадь: а) равнобокой трапеции с основаниями 15 см и 39 см, в которой диагональ перпендикулярна боковой стороне; б) прямоугольной трапеции с боковыми сторонами 12 см и 13 см, диагональ которой является биссектрисой острого угла.
Ответ
а) \(486 (см^2)\); б) \(62 (см^2)\).
Решение № 39851:
а) Для равнобедренной трапеции: \(AH = \fraq{AD - BC}{2}\); \(АН = \fraq{39 - 15}{2} = 12\) (см); \(HD = AD - АН = 27\) (см). По теореме Пифагора для \(\Delta АВН\), \(\Delta ABD\), \(\Delta BHD\): \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AB^2 = AH^2 + HB^2\); \(AD^2 = AB^2 + BD^2\); \(BD^2 = BH^2 + HD^2\); \end{cases} \end{equation*} \) \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AB^2 = AH^2 + HB^2\); \(AD^2 = AB^2 + BH^2 + HD^2\); \end{cases} \end{equation*} \) \(AD^2 = AH^2 + 2HB^2 + HD^2\); отсюда: \(BH^2 = \fraq{1}{2}(AD^2 - AH^2 - HD^2)\); \(BH^2 = \fraq{1}{2}(39^2 - 12^2 - 27^2)\); \(BH^2 = 324\); \(BH = 18\) (см). Тогда площадь: \(S = \fraq{BC + AD}{2} \cdot BH\); \(S = \fraq{15 + 39}{2} \cdot 18 = 486 (см^2)\). Ответ: \(486 (см^2)\). б) По теореме Пифагора для \(\Delta CHD (CH = AB)\): \(CH^2 + HD^2 = CD^2\); \(HD^2 = CD^2 - CH^2\); \(HD^2 = 13^2 - 12^2 = 25\); \(HD = 5\) (см). \(\angle CDB = \angle BDA\) по определению биссектрисы; \(\angle BDA = \angle DBC\) как внутренние накрест лежащие при \(ВС \parallel AD\) (по определению трапеции) и секущей \(BD\). Тогда \(\angle CBD = \angle CDB\) и \(\Delta BCD\) - равно бедренный по признаку. По определению равнобедренного треугольника \(BC = CD\), тогда \(ВС = 13\) см и, следовательно, \(АН = ВС = 13\) см, тогда \(AD = AH + HD = 13 + 5 = 18\) (см). Площадь \(S = \fraq{BC + AD}{2} \cdot CH = \fraq{13+18}{2} \cdot 12 = 62 (см^2)\). Ответ: 62 (см^2)\).