№39866

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь четырехугольника, площадь ромба, площадь треугольника, площадь трапеции,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Докажите, что диагонали делят параллелограмм на четыре равно­великих треугольника.

Ответ

NaN

Решение № 39850:

По свойству диагоналей параллелограмма: \(АР = РС\) и \(BP = PD\). Проводим высоты \(ВВ_{1}\) в \(\Delta ABD\) и \(PP_{1}\) в \(\Delta APD\), тогда: \(ВВ_{1} \parallel PP_{1}\), \(\angle PDP_{1}\) - общий, \(\angle BB_{1}D = \angle PP_{1}D\) и \(\angle B_{1}BD = \angle P_{1}PD\) (соответствующие при \(BB_{1} \parallel PP_{1}\) и секущих \(AD\) и \(BD\)), тогда \(\Delta BDB_{1} \sim \Delta PDP_{1}\) по трем углам, но по свойству диагоналей параллелограмма \(BP = PD = \fraq{BD}{2}\), тогда \(BB_{1} = 2PP_{1}\) (из подобия). Тогда: \(S_{ABD} = \fraq{1}{2}BB_{1} \cdot AD = \fraq{1}{2} \cdot 2PP_{1} \cdot AD = 2S_{APD}\), тогда, т.к. \(S_{ABP} + S_{APD} = S_{ABD}\); \(S_{ABP} = S_{APD}\). \(\angle APB = \angle DPC\) - вертикальные, \(AB = РС\) и \(BP = PD\), тогда \(\Delta АВР = \Delta DCP\) по двум сторонам и углу между ними; \(\angle BPC = \angle APD\) (вертикальные), тогда \(\Delta BPC = \Delta АРD\) по двум сторонам и углу между ними, следовательно, \(S_{ABD} = S_{BPC} = S_{CPD} = S_{APD}\).