№39864

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь четырехугольника, площадь ромба, площадь треугольника, площадь трапеции,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Докажите, что медианы треугольника, пересекаясь, делят данный треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Ответ

NaN

Решение № 39848:

Проведем из вершины \(В\) на сторону \(AC\) \(высоту \(BH_{1}\). Тогда: \(S_{ABB_{1}} = \fraq{1}{2}BH_{1} \cdot AB_{1}\) и \(S_{CBB_{1}} = \fraq{1}{2}BH_{1} \cdot B_{1}C\), но по определению медианы \(АВ_{1} = B_{1}C\), тогда \(S_{ABB_{1}} = S_{CBB_{1}}\). В треугольнике \(АОС\) проводим из вершины \(О\) высоту \(ОН_{2}\), тогда: \(S_{AOB_{1}} = \fraq{1}{2}AB_{1} \cdot OH_{2}\) и \(S_{COB_{1}} = \fraq{1}{2}CB_{1} \cdot OH_{2}\), но \(AB_{1} = CB_{1}\), тогда: \(S_{AOB_{1}} = S_{B_{1}OC}\). По свойству медиан треугольника \(ВО : ОВ_{1} = 2 : 1\), то (используя подобие по острому углу \(\Delta BH_{1}B_{1}\) и \(\Delta ОН_{2}В_{1}\)): \(BH_{1} = 3OH_{2}\), следовательно, \(S_{B_{1}BC} = S_{ABB_{1}} = 3S_{B_{1}OC} = S_{AOB_{1}}\). Тогда \(S_{OBC} = S_{OBA} = 2S_{B_{1}OC} = 2S_{B_{1}OA}\). Проведем высоту \(OH_{3}\), тогда \(S_{BOA_{1}} = \fraq{1}{2}OH_{3} \cdot BA_{1} = \fraq{1}{2}OH_{3} \cdot A_{1}C = S_{OA_{1}C}\). Аналогично получаем \(S_{AOC_{1}} = S_{OC_{1}B}\) и, следовательно: \(S_{AOB_{1}} = S_{B_{1}OC} = S_{COA_{1}} = S_{A_{1}OB} = S_{BOC_{1}} = S_{C_{1}OA}\), что и требовалось доказать.