№39859
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь четырехугольника, площадь ромба, площадь треугольника, площадь трапеции,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Биссектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см. Найдите площадь треугольника.
Ответ
\(294 (см^2)\).
Решение № 39843:
По свойству биссектрисы: \(\fraq{BD}{DC} = \fraq{BA}{AC} = \fraq{15}{20} = \fraq{3}{4}\). По теореме Пифагора: \(ВА^2 + АС^2 = BC^2\). Пусть \(ВА = 3х\), тогда \(АС = 4х\); \(BC = BD + DC = 15 + 20 = 35\) (см), тогда \(9x^2 + 16x^2 = 35^2\); \(25x^2 = 1225\); \(x^2 = 49\); \(x = 7\). \(ВА = 3 \cdot 7 = 21\) (см); \(АС = 4 \cdot 7 = 28\) (см). \(S = \fraq{1}{2}BA \cdot AC\); \(S = \fraq{1}{2} \cdot 21 \cdot 28 = 294 (см^2)\).