№39858

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь четырехугольника, площадь ромба, площадь треугольника, площадь трапеции,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Найдите площадь: а) равнобедренного треугольника с периметром 16 см и высо­той 4 см, проведенной к основанию; б) прямоугольного треугольника с гипотенузой 20 см и отношением катетов \(3 : 4\).

Ответ

a) \(12 (см^2)\); б) \(96 (см^2)\).

Решение № 39842:

a) \(P = AB + BC + AD\); \(AB = BC\) по определению равнобедренного треугольника, тогда \(P = 2AB + AC\); \(AC = P - 2AB\). По свойству высоты равнобедренного треугольника \(BH\) - медиана. По определецию медианы \(АН = НС = \fraq{AC}{2}\). По теореме Пифагора: \(АВ^2 = BH^2 + АH^2\); \(АВ^2 = BH^2 + (\fraq{AC}{2})^2 = BH^2 + ((\fraq{P - 2AB}{2})^2)\); \(АВ^2 = BH^2 + \fraq{P^2}{4} - P \cdot AB + АВ^2\); \(P \cdot AB = BH^2 + \fraq{P^2}{4}\); \(AB = \fraq{BH^2}{P} + \fraq{P}{4}\); \(AB = \fraq{4^2}{16} + \fraq{16}{4} = 1 + 4 = 5\) (см); \(AC = P - 2AB = 16 - 2 \cdot 5 = 6\) (см); \(S = \fraq{1}{2}AC \cdot BH = \fraq{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 (см^2)\). б) Пусть катет \(а = 3х\), тогда \(b = 4х\). По теореме Пифагора: \(а^2 + b^2 = c^2\), тогда \(9x^2 + 16x^2 = 20^2\); \(25x^2 = 400\); \(x^2 = 16\); \(x = 4\); \(а = 3 \cdot 4 = 12\) (см); \(b = 4 \cdot 4 = 16\) (см). Площадь \(S = \fraq{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 (см^2)\).