№39780

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Может ли выпуклый пятиугольник иметь четыре острых угла; четыре прямых угла; четыре тупых угла?

Ответ

1) Не может; 2) не может; 3) может.

Решение № 39764:

Сумма внутренних углов многоугольника: \(180^\circ \cdot (n - 2)\). Тогда для пятиугольника: \(180^\circ \cdot (5 - 2) = 540^\circ\). 1) Пусть пятиугольник имеет четыре острых угла, тогда сумма этих четырех углов меньше \(90^\circ \cdot 4 = 360^\circ\). Поэтому оставшийся пятый угол больше \(540^\circ - 360^\circ = 180^\circ\). Поэтому пятиугольник не может быть выпуклым. Следовательно, выпуклый пятиугольник не может иметь четыре острых угла. 2) Если пятиугольник имеет 4 прямых угла, тогда оставшийся пятый угол равен \(540^\circ - 90^\circ \cdot 4 = 180^\circ\). И пятиугольник трансформируется в четырехугольник. Следовательно, он не может иметь 4 прямых угла. 3) Если пятиугольник имеет 4 тупых угла, оставшийся пятый угол меньше \(180^\circ\), следовательно, такая ситуация возможна.