№39776

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

(опорная). Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением боковых сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит основание: \(l_{c}^2 = ab - mn\) (см. рис. ниже). Докажите.

Ответ

NaN

Решение № 39760:

Дополнительное построение: из точки \(О\) проводим отрезок \(МО\) к стороне \(АВ\) так, что \(\angle MOB = \angle BCO\). \(\angle ABO = \angle OBC\) по определению биссектрисы. Тогда \(\Delta ОВМ \sim \Delta СВО\) по двум углам. Из подобия: \(\fraq{MB}{OB} = \fraq{OB}{BC}\), тогда \(МВ \cdot ВС = OB^2\). \(\angle MOA = 180^\circ - \angle MOB - \angle BOC = 180^\circ - \angle O - \angle BOC = \angle OBC = \angle AOB\) (теорема о сумме углов треугольника и свойство смежных углов). \(\angle BAO\) - общий, тогда \(\Delta АОМ \sim \Delta АВО\). Из подобия: \(\fraq{AM}{AO} = \fraq{AO}{AB}\). Тогда \(AM \cdot AB = AO^2\). Ho \(AM + MB = AB\), тогда \(AB = \fraq{OB^2}{BC} + \fraq{AO^2}{AB}\). \(a = \fraq{l_{c}^2}{b} + \fraq{m^2}{a}\). По свойству биссектрисы \(\fraq{m}{a} = \fraq{n}{b}\), тогда: \(a = \fraq{l_{c}^2}{b} + \fraq{mn}{b}\); \(ab - mn = l_{c}^2\).