№39775

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

(теорема Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четы­рехугольника равно сумме произведений двух пар его противолежащих сторон: \(d_{1}d_{2} = ас +bd\) (см. рис. ниже). Докажите.

Ответ

NaN

Решение № 39759:

Отметим на \(АС\) т. \(Р\) так, что \(\angle ABP = \angle DBC\). \(\angle BAC = \angle BDC\) - опирающиеся на одну хорду. Следовательно, \(\Delta ВАР \sim \Delta BDC\) по двум углам. Тогда: \(\fraq{AB}{BD} = \fraq{AP}{DC} \Rightarrow AB \cdot DC = AP \cdot BD\). \(\angle BDA = \angle BCA\) - опирающиеся на одну хорду. \(\angle PBC = \angle ABD\). Тогда \(\Delta АBD \sim \Delta РВС \Rightarrow \fraq{PC}{AD} = \fraq{BC}{BD}\), тогда \(BD \cdot PC = AD \cdot BC\). Складываем полученные уравнения: \(BD \cdot AP + BD \cdot PC = AD \cdot BC + AB \cdot DC\); \(BD \cdot AC = AD \cdot BC + AB \cdot DC\); \(d_{1} \cdot d_{2} = d \cdot b + a \cdot c\).