№39774

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Найдите геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до данных точек \(А\) и \(B\) постоянна, если точки \(А\) и \(B\) при­ надлежат этому множеству.

Ответ

Окружность с радиусом \(\fraq{c}{2}\).

Решение № 39758:

Пусть \(const = c^2\). \(a^2 + b^2 \geq 0\), тогда \(const \geq 0\). Следовательно, \(a^2 + b^2 = c^2\). Но по теореме, обратной теореме Пифагора, такой треугольник прямоугольный. Так как \(c^2\) - фиксированная постоянная, то построим на \(с\) как на диаметре окружность, но тогда вершина треугольника, опирающегося на диаметр и имеющего прямой угол, лежит на построенной окружности. Итак, ГМТ - окружность с радиусом \(\fraq{c}{2}\).