№39773

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Внутри прямоугольника \(АBСD\) отмечена точка \(М\), причем \(МА = а\), \(МВ = b\), \(МС = с\). Найдите \(МD\).

Ответ

\(\sqrt{c^2 + a^2 - b^2}\).

Решение № 39757:

Дополнительное построение: через точку \(М\) проводим прямые \(В_{1}D_{1} \parallel АВ\) и \(A_{1}C_{1} \parallel АD\). По теореме Пифагора: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(BM^2 = BB_{1}^2 + B_{1}M^2\); \(AM^2 = AD_{1}^2 + D_{1}M^2\); \(MC^2 = B_{1}C^2 + B_{1}M^2\); \(MD^2 = MD_{1}^2 + DD_{1}^2\). \end{cases} \end{equation*} \) Но: \(BB_{1} = AD_{1}\); \(B_{1}C = D_{1}D\), тогда: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(BM^2 - AM^2 = B_{1}M^2 - D_{1}M^2\); \(MC^2 - MD^2 = B_{1}M^2 + MD_{1}^2\). \end{cases} \end{equation*} \) Правые части этих уравнений тождественно равны, тогда равны и их левые части: \(BM^2 - AM^2 = MC^2 - MD^2\); тогда: \(MD^2 = MC^2 + AM^2 - BM^2; \(MD^2 = c^2 + a^2 - b^2\); \(MD = \sqrt{c^2 + a^2 - b^2}\).