№39772

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Три окружности с радиусами 1, 2 и 3 попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через центры этих окружностей, и радиус окружности, проходящей через точки их касания.

Ответ

\(R_{O_{123}} = 2,5\); \(R_{A_{123}} = 1\).

Решение № 39756:

Находим стороны \(\Delta O_{1}O_{2}O_{3}\): \(O_{1}O_{2} = R_{1} + R_{2} = 1 + 2 = 3\); \(O_{2}O_{3} = R_{2} + R_{3} = 2 + 3 = 5\); (O_{3}O_{1} = 1 + 3 = 4\). Получили Египетский греугольник. По теореме, обратой теореме Пифагора: \(\Delta O_{1}O_{2}O_{3}\) - прямоугольный. Тогда, если \(\Delta O_{1}O_{2}O_{3}\) вписан в окружность, он опирается на ее диаметр, следовательно: \(D = O_{2}O_{3}\); \(R_{O_{123}} = \fraq{O_{2}O_{3}}{2} = \fraq{5}{2} = 2,5\). Окружность, проходящая через точки \(А_{1}\), \(А_{2}\) и \(А_{3}\), касается \(\angle O_{2}O_{1}O_{3}\) в точках \(А_{3}\) и \(А_{2}\). Тогда \(ЕА_{3} \perp А_{3}O_{1}\). Значит, \(\Delta А_{3}EO_{1}\) - прямоугольный. Из симметрии \(А_{3}O_{1} = O_{1}A_{2} = 1\); \(EO_{1}\) - биссектриса \(\angle А_{3}O_{1}А_{2}\), тогда \(\angle А_{3}O_{1}E = 45^\circ\), значит, \(\angle А_{3}EO_{1} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Следовательно, \(\Delta A_{3}O_{1}E\) - равнобедренный, тогда \(А_{3}E = O_{1}A_{3} = 1\). А \(А_{3}E\) и есть искомый радиус \(R_{A_{123}}\).