№39771

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Докажите, что квадрат наименьшей медианы прямоугольного треугольника в пять раз меньше суммы квадратов двух других медиан.

Ответ

NaN

Решение № 39755:

По определению медианы \(AC_{1} = BC_{1} = \fraq{AB}{2}\) По теореме Пифагора для \(\DeltaАC_{1}С\) и \(\Delta AВB_{1}\): \(CC_{1}^{2} = AC^{2} + \fraq{AB^{2}}{4}\). \(BB_{1}^{2} = AB^{2} + \fraq{AC^{2}}{4}\) Складывая эти два уравнения, получим: \BB_{1}^{2} +CC_{1}^{2} = \fraq{5}{4} (AB^{2} + AC^{2}) = \fraq{5}{4} BC^{2}\) (теорема Пифагора для \(\Delta АВС\)). Проведем высоту \(АН\). Из метрических свойств: \(АН^{2} = ВН \cdot НС\). По теореме Пифагора для \(\Delta АA_{1}Н: AA_{1}^{2} + AH^{2} + HA_{1} = BH \cdot HC + (\fraq{BC}{2} - BH)^{2} = BH \cdot (BC - BH) + \fraq{BC^{2}}{4} - BC \cdot BH + BH^{2}\); \(AA_{1}^{2} = \fraq{BC^{2}}4}\). Тогда: \(ВВ_{1}^{2} + СС_{1}^{2} = 5АА_{1}^{2}\).