№39770

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Основание равнобедренного треугольника равно \(36 см\), а боковая сторона — \(54 см\). К боковым сторонам проведены высоты. Найдите длину отрезка, концами которого являются основания этих высот.

Ответ

Ответ: \(ED = 28 см\)

Решение № 39754:

По теореме Пифагора для \(\Delta ЕСА\): \(AC^{2} = AE^{2} + EC^{2}\). По теореме Пифагора для \(\Delta ВЕС\): \(BE^{2}+ EC^{2} = BC^{2}\) Тогда, исключая \(ЕС : АС^{2} + BE^{2} = AE^{2} + BC^{2}\). \(AE = BA - BE\) и, по определению равнобедренно треугольника, \(АВ = ВС\), тогда: \(AC^{2} + BE^{2} = (AB - BE)^{2} + AB^{2}\); \(BE^{2} + AC^{2} - AB^{2} + 2AB \cdot BE - BE^{2} - AB^{2} = 0\) \(BE = AB - \fraq{AC^{2}}{2AB}\); \(\fraq{AC}{ED} = \fraq{AB}{EB}\). Можно доказать, что \(ED \parallel АС\), тогда \(\Delta ABC \sim \Delta EBD\). \(\fraq{AC}{ED} = \fraq{AB}{EB}\). Отсюда: \(ED = AC \cdot \fraq{BE}{AB} = AC \cdot (1 - \fraq{1}{2}(\fraq{AC}{AB})^{2}) = 28 см\) Ответ: \(ED = 28 см\)