№39769

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Основания трапеции равны \(a\) и \(b\) \(а < b\). Через точку пересечения продолжений боковых сторон проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между продолжениями диагоналей.

Ответ

NaN

Решение № 39753:

По определению трапеции \(DE \parallel IK\), следовательно, \(DE \parallel IK \parallel АС\). \(\angle BAD = \angle DKI\) \(\angle ABD = \angle KID\) - внутренние накрест лежащие при \(AB \parallel КI\) и секущих \(АК\) и \(BI\). \(\angle ADB = \angle EDR\) - вертикальные, тогда \(\Delta ABD \sim \Delta KID\) по трем углам. Тогда из подобия: \(\fraq{AB}{AD} = \fraq{IK}{DK}\) Используя то, что \(IK = b\), а \(DK = DF + FK\), получим \(\fraq{DF}{b} + \fraq{FK}{b} = \fraq{AD}{AB}\) \(\Delta BCE \sim \Delta KIE\) (все остальные подобия доказываются аналогично предыдущему). Из подобия: \(\fraq{EI}{CE} = \fraq{IK}{BC}\); \(IK = b : EI = EF +IE\); \(\fraq{EF}{b} + \fraq{IF}{b} = \fraq{CE}{DC}\). \(AC = AB + BC\). Из первого уравнения: \(AB=b \cdot \fraq{AD}{DF + FK}\) Из второго уравнения: \(ВС = b\cdot \fraq{CE}{EF + IF}\)' \(\Delta DEF \sim \Delta KIF\), тогда: \(\fraq{EF}{FI} = \fraq{a}{b}\) и \(\fraq{DF}{FK} = \fraq{a}{b}\), следовательно: \(FI= EF \cdot \fraq{b}{a}\) и \(FK = DF \cdot \fraq{b}{a}\). Отсюда: \(AB = b \cdot \fraq{AD}{DF + DF \cdot \fraq{b}[a}} = \fraq{ab}{a + b} \cdot \fraq{AF}{FG}\) \(BC = b \cdot \fraq{CE}{EF + EF \cdot \fraq{b}{a}} = \fraq{ab}{a + b} \cdot \fraq{CE}{EF}\) \(AC = \fraq{ab}{a + b}(\fraq{AD}{DF} + \fraq{CE}{EF}\). \(\Delta AFC \sim \Delta DFE\), тогда: \(\fraq{CE}{FE} = \fraq{CE + FE}{FE} = 1 + \fraq{CE}{FE} = \fraq{AC}{DE} = \fraq{ab}{(a + b)a}(\fraq{AD}{DF} + \fraq{CE}{EF}\)/ По теореме по пропорциональных отрезках: \(\fraq{AD}{DF} = \fraq{DE}{EF} = k\); тогда \(k + 1 = \fraq{b}{a + b}(k + k)\); \(k(\fraq{2b}{a + b} - 1) = 1\); \(k \cdot \fraq{b - a}{b + a} = 1\). Отсюда \(к = \fraq{a + b}{b - a}\). Тогда \(AB = BC = \fraq{ab}{a + b} \cdot \fraq{a + b}{b - a} = \fraq{ab}{b - a}\), следовательно, \(АС = \fraq{2ab}{b - a}\).