№39767

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Основания трапеции равны \(6 см\) и \(12 см\). Середины каждого из оснований соединены с концами другого основания. Найдите расстояние между точками пересечения проведенных отрезков.

Ответ

Ответ: \(MN = 4 см\)

Решение № 39751:

о определению трапеции \(BC \parallel AD\). Тогда: \(\angle EBM = \angle MFA\) (секущая \(BF\)); \(\angle BEM = \angle MAF\) (секущая \(EA\)); \(\angle ECN = \angle NFD (секущая \(BF\)); \(\angle CEN = \angle FDN (секущая \(ED\)). \(\angle BME = \angle AMF\) \(\angle ENC = \angle END\) -вертикальные, тогда \(\Delta BEM \sim \Delta FMA\) и \(\Delta ECN \sim \Delta DFN\) по трем углам. Тогда \(BM : МF = BE : AF = 6 : 12 = 1 : 2\). \(EN : ND = EC : FD = 6 : 12 = 1 : 2\). В подобных треугольниках подобны высоты, а так как коэффициенты подобия в обеих парах равны \(\fraq{1}{2}\). то и высоты \(\Delta ВМЕ\) и \(\Delta ENC\) равны. Тогда \(MN \parallel BC \parallel AD\). Дополнительное построение: продлеваем \(BF\) и \(ED\) до пересечения. \(\angle FID\) - общий; \(\angle IEB = \angle INM =\angle IDF\) \(\angle IBE = \angle IMN= \angle IFD\) - соответствующие при \(BE \parallel MN \parallel FD\). Тогда \(\Delta IEB \sim \Delta IMN \sim \Delta IDF\). Из подобия: \(\fraq{IN}{IE} =\fraq{MN}{BE}\) ; если \(IN = IE + EN\), тогда: \(\fraq{IE + EN}{IE} = 1 + \fraq{EN}{IE} = \fraq{MN}{BE}\). \(\fraq{ID}{IE} = \fraq{FD}{BE}\). \(ID = IE +EN +ND = IE + 3EN\); \(\fraq{IE + 3NE}{IE} = 1 + 3\fraq{NE}{IE} = \fraq{FD}{BE} = \fraq{5}{3} = 2\) Итак: \(1 + 3\fraq{NE}{IE} = 2\). \(\fraq{NE}{IE} = \fraq{1}{3}\); значит, \(\fraq{MN}{BE} = 1 + \fraq{EN}{IE} = 1 + \fraq{1}{3} = \fraq{4}{3}\). \(MN = \fraq{4}{3}BE\); \(MN = \fraq{4}{3} \cdot 3 = 4 (см)\) Ответ: \(MN = 4 см\)