№39766

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В треугольнике \(АВС\) медиана \(АМ\) делит высоту \(ВН\) в отношении \(3 : 1\), начиная от вершины \(В\). В каком отношении данная высота делит данную медиану?

Ответ

Ответ: \(OM = AO\)

Решение № 39750:

Дополнительное построение: через точку \(С\) проводим прямую \(М_{1}С\), параллельную \(ВН\) и продлеваем \(АМ\) до пересечения с \(M_{1}C\). По определению медианы \(ВМ = МС\). \(\angle BMO = \angle M_{1}MC\) - как вертикальные. \(\angle OBM = \angle M_{1}CM\) как внутренние накрест лежащие при \(ВН \parallel СМ_{1}\) и секущей \(ВС\). Тогда \(\Delta ВМО = \Delta CMM_{1}\) по стороне и двум углам, прилежащим к ней. Из равенства треугольников: \(ОМ = ММ_{1}\) и \(ВО = М_{1}С\), значит, \(М_{1}С : ОН = 3 : 1\). Рассмотрим \(\Delta АОН\) и \(\Delta AM_{1}C: \angle A\) - общий; \(\angle AOH = \angle AM_{1}C\) \(\angle AHO = \angle ACM_{1}\) -соотвествующие при \(ВН \parallel М_{1}С\) и секущих \(AM_{1}\( и \(АС\). Тогда \(\Delta АОН \sim \Delta АМ_{1}С\). по трем углам, тогда \(AО: АМ_{1} = ОН : M_{1}C = 1 : 3\). Так как \(OM = MM_{1} = \fraq{1}{2}OM_{1}\), и \(AM_{1} = AO + OM_{1}\), то \(AM_{1} = AO + OM \cdot 2\). Тогда \(\fraq{OA}{AM} = \fraq{AO}{OA + OM \cdot 2} = \fraq{1}{3}\) Перевернем дробь: \(\fraq{AO + OM \cdot 2}{AO} = 1 + 2\fraq{OM}{AO} = 3\) тогда \(2\fraq{OM}{AO} = 2\) и \(ОМ = АО\). Ответ: \(OM = AO\)