№39765

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В треугольнике \(АВС\) на сторонах \(ВС\) и \(АС\) отмечены точки \(А_{1} и \(В_{1}\) соответственно. Отрезки \(АА_{1}\) и \(ВВ_{1]\) пересекаются в точке \(О\). Найдите: а) \(AO : A_{1}O\), если \(AB_{1} : B_{1}C = 2 : 1, BA_{1} = A_{1}C\); б) \(BA_{1} : A_{1}C\), если \(AO : OA_{1} = 4 : 1/), /(AB_{1} : B_{1}C = 2 : 1\); в) \(BA_{1} : A_{1}C\) и \(AB_{1}C : B_{1}C\), если \(AO : OA_{1} = 4 : 1/) , \(BO : OB_{1} = 7 : 8\).

Ответ

Ответ: \(BA_{1} : A_{1}C = 6 : 5\) и \(AB_{1} : B_{1}C = 24 : 11\).

Решение № 39749:

а) Нарисуем вспомогательный чертеж и проведем в нем дополнительное построенне. По условию \(АВ_{1} : В_{1}С = 2 : 1\). Найдем середину \(AB_{1}\), отметий т. \(D_{2}\) (тогда \(AD_{1} = D_{2}B_{1} = B_{1}C\)) и проведем через эту точку прямую \(DD_{2}\) параллельную \(BB_{1} : BB_{1} \parallel DD_{2}\) Продлеваем сторону \(АВ\) и медиану \(АА_{1}\) до пересечения с прямой \(СС_{1} \parallel ВВ_{1}\). По теореме о пропорциональных отрезках: \(\fraq{AD_{1}}{AD_{2}} = \fraq{D_{1}O}{D_{2}{B_{1}} = \fraq{OC_{1}}{B_{1}C}\) Так как \(AD_{1} = D_{2}B_{1} = B_{1}C = \fraq{AC}{3}\) то \(AD_{1} = D_{1}O = OC_{1}\). Рассмотрим \(\Delta ВА_{1}О\) и \(\Delta С_{1}AC\). \(\angle BA_{1}O = \angle C_{1}AC_{1}\) - вертикальные; \(\angle OBA_{1} = \angle C_{1}CA\) - внутренние накрест лежащие \(\angle BOA_{1} = \angle CC_{1}A_{1}\) - внутренние накрест лежащие лежащие при \(ВВ_{1} \parallel С_{2}С\) и секущих \(ВС\) и \(ОС_{1}\). Тогда \(\Delta BA_{1}О \sim \Delta CA_{1}С_{1}\) по трем углам или, используя, что \(ВА_{1} = A_{1}C\) и первые два равенства для углов, \(\Delta ВА_{1}O = \Delta СА_{1}С_{1}\) по стороне и двум углам, прилежащим к ней. Тогда: \(ОА_{1} = А_{1}С = \fraq{OC_{1}}{2}\), тогда: \(AO = 2AD_{1} = 2OC_{1} +2 \cdot 2OA_{1} = 4OA_{1}\); \(AO : A_{1}O = 4 : 1\). Ответ: \(AO : A_{1}O = 4 : 1\). б) Проводим дополнительные построения, описанные в решении пункта а).Получаем то же, что и в предыдущем решении \(AD_{1} = D_{1}O = OC_{1}\), но по условию: \(AO = AD_{1} + D_{1}O = 4A_{1}O\), a \(OC_{1} = OA_{1} + A_{1}C\). Тогда: \(2A_{1}O = A_{1}O + А_{1}С\), тогда \(A_{1}O = A_{1}C\). Рассмотрим \(\Delta ВА_{1}О\) и \(\Delta СА_{1}С\): \(\angle BA_{1}O = \angle C_{1}A_{1}C\) - вертикальные; \(\angle A_{1}C_{1}C = \angle A_{1}OB\) - внутренние накрест лежащие при \(ВВ_{1} \parallel CC_{2}\) и секущей \(ОС_{1}\) и \(A_{1}O = \(A_{1}C\). Тогда \(\Delta ВА_{1}О = \Delta CA_{1}C\) по стороне и двум углам, прилежащим к ней. Тогда: \(ВА_{1} =BA_{1}\) Ответ: \(BA_{1} = A_{1}C\). в) Дополнительное построение: проводим прямые, параллельные \(ВВ_{1}\) через точки \(D\) и \(C\); продлеваем прямую \(АА_{1}\) до пересечения с \(ЕС\). Рассмотрим \(\Delta BB_{1}C\) и \(\Delta A_{1}DC\). \(\angle A_{1}CD\) - общий; \(\angle B_{1}BC = \angle DA_{1}C\) \(\angle BB_{1}BC = \angle A_{1}DC\) - внутренние накрест лежащие при \(BB_{1} \parallel A_{1}D\) и секущих \(ВС\) и \(В_{1}С\). Из подобия: \(\fraq{BB_{1}}{B_{1}C} = \fraq{A_{1}D}{DC}\) Рассмотрим \(\Delta АА_{1}D\) и \(AOB_{1}: \angle A_{1}AD\) - общий; \(\angle AOB_{1} = \angle AA_{1}D\) \(\angle AB_{1}O = \angle ADA_{1}\) -внутренние накрест лежащие при \(BB_{1} \parallel A_{1}D\) и секущих \(АА_{1}\) и \(АС\). Тогда \(\Delta AOB_{1} \sim \Delta АА_{1}D\). Из подобия: \(\fraq{AO}{AA_{1}} = \fraq{OB_{1}}{A_{1}D}\); \(AA_{1} = AO + OA_{1} = 4OA_{1} + OA_{1} = 5OA_{1}\); \(AO = 4A_{1}O\);\(\fraq{OB_{1}}{A_{1}D} = \fraq{4A_{1}O}{5A_{1}O} = \fraq{4}{5}\) По условию: \(ВО: ОВ_{1} = 7 : 4\). Пусть \(ОВ_{1} = 4y\), тогда \(ВО = 7y\) и \(A_{1}D = \fraq{5OB_{1}}{4} = \fraq{5 \cdot 4y}{4} =5y\). Следовательно, \(BB_{1} = 11y\) Рассмотрим \(\delta ВВ_{1}С\) и \(\delta A_{1}DC: \angle A_{1}CD\) - общий; \(\angle CA_{1}D = \angle CBB_{1}\) \(\angle CA_{1}D = \angle CB_{1}B\) - внутренние накрест лежащие при \(BB_{1} \parallel A_{1}D\) и секущих \(СВ\) и \(СВ_{1}\). Тогда \(\Delta BB_{1}C \sim \Delta A_{1}DC\). Из подобия: \(\fraq{BB_{1}}{A_{1}D} = \fraq{B_{1}}{DC}\). \(\fraq{B_{1}C}{DC} = \fraq{11y}{5y} = \fraq{11}{5}\). \(\fraq{B_{1}C = DC + B_{1}D_{1}\) Тогда \(\fraq{DC + B_{1}D}{DC] = 1 + \fraq{B_{1}D}{DC} = \fraq{11}{5} = 1 + \fraq{5}{6}\). Тогда \(\fraq{DC}{B_{1}D} = \fraq{5}{6}\) По теореме о пропорциональных отрезках: \(\fraq{OA_{1}}{A_{1}E} = \fraq{B_{1}D}{DC} = \fraq{6}{5}\) Рассмотрим \(\Delta BA_{1}O\) и \(\delta СА_{1}E : \angle BA_{1}O = \angle CA_{1}E\) - вертикальные; \(\angle A_{1}BO = \angle A_{1}CE\) \(\angle A_{1}OB = \angle A_{1}EC\) внутренние накрест лежащие при \(ВВ_{1} \parallel ЕС\) и секущих \(ВС\) и \(AE\). Тогда \(\Delta ВА_{1}О \sim \Delta CА_{1}Е\) по трем углам. Из подобия: \(\fraq{OA_{1}}{A_{1}E} = \fraq{BA_{1}}{A_{1}C}\); \(\fraq{BA_{1}}{A_{1}C} = \fraq{6}{5}\) Из подобия \(\Delta АОВ_{1}\) и \(\Delta AA_{1}D\) найдем, что: \(\fraq{AO}{AB_{1} = \fraq{AA_{1}{AD}\). Из условия \(\fraq{AO}{OA_{1}}= 4\), тогда \(\fraq{AA_{1}}{OA_{1} = 5\) и \(AA_{1}}{AO} = \fraq{5}{4}\) Пусть \(В_{1}D = x\), тогда \(\fraq{AD}{AB_{1}} = \fraq{AB_{1} + B_{1}D}{AB_{1}} = 1 + \fraq{B_{1}D}{AB_{1}} = \fraq{AA_{1}}{AO} = \fraq{5}{4} = 1 + \fraq{1}{4}\). \(\fraq{B_{1}D}{AB_{1}} = \fraq{1}{4}\), тогда \(AB_{1} = 4B_{1}D = 4x\). Мы уже получили, что \(\fraq{B_{1}D}{DC} = \fraq{6}{5}\), тогда \(DC = \fraq{5}{6}DB_{1} = \fraq{5}{6}x\). Следовательно: \(\fraq{AB_{1}}{B_{1}C} = \fraq{AB_{1}}{B_{1}D + DC} = \fraq{4x}{x + \fraq{5}{6} x} = \fraq{4 \cdot 6x}{(6 + 5)x} = \fraq{24}{11}\). Ответ: \(BA_{1} : A_{1}C = 6 : 5\) и \(AB_{1} : B_{1}C = 24 : 11\).