№39762

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

На рис. 135 отрезок \(BD\) - биссектриса треугольника \(АВС\), \(CM \parallel BD\). Пользуясь этим рисунком и теоремой о пропорциональных отрезках, докажите свойство биссектрисы треугольника.

Ответ

NaN

Решение № 39746:

\(\angle MAC\) - общий, тогда \(\Delta МАС \sim \Delta BAD\) по трем углам. Из подобия: \(\fraq{AD}{AM} = \fraq{AD}{AC}\); \(\fraq{AB}{AB + BM} = \fraq{AD}{AD + DC}\) Переворачиваем дроби и делим почленно: \(\fraq{AB + BM}{AB} = \fraq{AD}{AD + DC}\) \(\fraq{AB}{AB} + \fraq{BM}{AB} = \fraq{AD}{AD} + \fraq{DC}{AC}\); \(1 + \fraq{BM}{AB} = 1 + \fraq{DC}{AC}\). Получаем: \(\fraq{BM}{AB} = \fraq{DC}{AC} (теорема о пропорциональных отрезках). \(\angle DBC = \angle BCM\) - (внутренние накрест лежащие при \(BD \parallel МС\) и секущей \(ВС\). По определению биссектрисы \(\angle ABD = \angle DBC\), тогда; \(\angle ABD = \angle DBC = \angle BCM = \angle BMC\). Тогда \(\Delta ВМС\) - равнобедренный по признаку. По определению равнобедренного треугольника \(ВМ = ВС \(BM = BC\), тогда: \(\fraq{BC}{AB} = \fraq{DC}{AC}\)