№39761

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Пользуясь рис. 134, \(а, б\), докажите теорему о точке пересечения медиан треугольника еще двумя способами.

Ответ

NaN

Решение № 39745:

а) Пусть \(A_{1}D \parallel BB_{1}\), тогда \(\angle A_{1}BB_{1} = \angle CA_{1}D\) - соответствующие при \(ВВ_{1} \parallel A_{1}D\) и секущей \(ВС\) \(\angle BB_{1}C = \angle A_{1}DC\) - соответствующие при \(BB_{1} \parallel A_{1}D\) и секущей \(AC\). \(\angle A_{1}CD\) общий, тогда \(\Delta BB_{1}C \sim \Delta ADC\) по трем углам. Из подобия: \(\fraq{BC}{BB_{1} = \fraq{A_{1}C}{DC}\). По определению медианы \(BA_{1} = A_{1}C = \fraq{BC}{2}\), тогда: \(\fraq{2A_{1}C}{BB_{1}} = \fraq{A_{1}}{DC}\) значит, \(\fraq{B_{1}D = DC\) Следовательно, \(B_{1}D = DC\). По определению медианы \(АВ_{1} = В_{1}С = \fraq{AC}{2}\) \(\angle AA_{1}D = \angle AOB_{1}\) - соответствующие при \(BB_{1} \parallel A_{1}D\) и секущей \(AА_{1}\); \(\angle AB_{1}D = \angle ADA_{1}\) - соответствующие при \(BB_{1} \parallel A_{1}D\) и секущей \(AC\); \(\angle CAA_{1}\) - общий, тогда \(\Delta AOB \sim AA_{1}D\) по трем углам. Из подобия: \(\fraq{AO}{AA_{1}} = \fraq{AB_{1}}{AD}\) б) По определению медианы \(BA_{1} = A_{1}C = \fraqBC}{2}\) и \(BC_{1} = C_{1}A = \fraq{BA}{2}\) Тогда \(C_{1}A_{1}\) - средняя линия \(\Delta АВС\). По свойству средней линии треугольника: \(C_{1}A_{1} =\fraq{AC}{2}\) и \(C_{1}A_{1} \parallel AC\). \(\angle C_{1}OA_{1} = \angle COA\) - вертикальные. \(\angle OAC = \angle OA_{1}C_{1} \angle OCA = \angle OC_{1}A_{1}\) как внутренние накрест лежащие при \((С_{1}А_{1} \parallel AC\) и секущих \(AA_{1}\) и \(CC_{1}\) Тогда \(\Delta АОС \sim \Delta А_{1}ОС_{1}\) по трем углам. Из подобия: \(\fraq{AO}{OA_{1} = \fraq{CO}{OC_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1} = 2\), значит, \(AO : OA_{1} = 2 : 1\); \(СО : ОС_{1} = 2 : 1\), что и требовалось доказать.