№39758

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Периметр равнобокой трапеции равен \(1 м\), а разность оснований составляет \14 см\). Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

Ответ

Ответ: радиус вписанной окружности равен \(12 см\).

Решение № 39742:

В трапецию можно вписать окружность, если \(AB + CD = BC + AD\). Ho периметр \(P = AB + CD + BC + AD = 2(AB + CD)\). \(AB = CD\) по определению равнобедренной трапеции. Тогда: \(Р = 4АВ\); \(АВ = 100 : 4 = 25 (см)\); \(CD = 25 (см)\). Пусть \(ВС = х см\), тогда \(AD = (х + 14) см\); \(BC + AD = 2AB\); \(x + x + 14 = 25 + 25\); \(2x = 50 - 14\); \(2x = 36\); \(x = 18 (см)\). \(BC = 18 см\), \(AD = 18 + 14 = 32 (см)\). Проведем высоты \(BE\) и \(CF\), тогда \(BEFC\) - прямоугольник по определению, а по его двойству \(ВС = EF\). Тогда по теореме Пифрагора: \(АВ^{2} = АE^{2} + EB^{2}\); \(EB=\sqrt{AB^{2} - AE^{2}\}) \(EB = \sqrt{25^{2} - 7^{2}} = 24 (см)\) \(EB\) - диаметр окружности, тогда ее радиус: \(R = \fraq{EB}{2}\), \(R = \fraq{24}{2} = 12 (см)\) Ответ: радиус вписанной окружности равен \(12 см\).