№39755

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Найдите стороны равнобедренного треугольника с периметром \(16 см\), если медиана, проведенная к основанию, равна \(4 см\).

Ответ

Ответ: стороны треугольника равны \(5 см\), \(5 см\) и \(6 см\).

Решение № 39739:

По определению медианы \(AM = MC= \fraq{AC}{2}\) Пусть \(АМ = х\), тогда \(АС = 2x\). По определению равнобедренного треугольника: \(АВ = ВС\) Пусть \(АВ = у\), тогда: \(P = AB + BC + AC = 2y + 2x = 2(x + y)\). По свойству мёдианы равнобедренного треугольника: \(ВМ\) высота, значит, \(\Delta ВМС\) - прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора \(ВС^{2} = ВМ^{2} + МС^{2}\). \(BM^{2} = y^{2} - x^{2}\) Получили систему уравнений: \( \begin{equation*} \begin{cases} x + y = \fraq{P}{2}; y^{2} - x^{2} = BM^{2}; \end{cases} \end{equation*} \) \( \begin{equation*} \begin{cases} x + y = 8; y^{2} - x^{2} = 16; \end{cases} \end{equation*} \) \( \begin{equation*} \begin{cases} x + y = 8; y - x = 2. \end{cases} \end{equation*} \) Складываем два уравнения: \(2у = 10\); \(у = 5 (см)\). Вычитаем из первого второе: \(2х = 6\); \(x = 3 (см)\). Тогда \(АВ = ВС = у = 5 (см)\) и \(АС = 2х = 6 (см)\). Ответ: стороны треугольника равны \(5 см\), \(5 см\) и \(6 см\).