№39754

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Периметр прямоугольника равен \(46 см\), а диагональ — \(17 см\). Найдите стороны прямоугольника.

Ответ

Ответ: стороны прямоугольника равны \(15\) и \(8 см\).

Решение № 39738:

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, тогда \(Р = 2(а + b)\). По определению прямоугольника - все его углы прямые. Тогда по теореме Пифагора: \(d^{2} = а^{2} + b^{2}\). Получим систему: \( \begin{equation*} \begin{cases} a + b = \fraq{P}{2}; a^{2} + b^{2} = d^{2}; \end{cases} \end{equation*} \) \( \begin{equation*} \begin{cases} a + b = \fraq{46}{2} = 23; a^{2} + b^{2} = 17^{2} = 289; \end{cases} \end{equation*} \) \( \begin{equation*} \begin{cases} b = 23 -a; a^{2} + (23 - a)^{2} = 289; \end{cases} \end{equation*} \) Решаем второе уравнение: \(a + 23^{2} - 2 \cdot 23a + a^{2} = 289\); \(2a^{2} - 2 \cdot 23 a + 240 = 0\); \(a^{2} - 23a + 120 = 0\); \(D = 23^{2} - 4 \cdot 120 = 49\); \(a = \fraq{23 \pm \sqrt{49}}{2}\); \( \begin{equation*} a = \begin{cases} 8 (см) 15 (см) \end{cases} \end{equation*} \) \(b = 23 - a\); \( \begin{equation*} b = \begin{cases} 23 - 8 = 15 (см) 23 - 15 = 8 (см) \end{cases} \end{equation*} \) Ответ: стороны прямоугольника равны \(15\) и \(8 см\).