№39748

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В равнобедренном треугольнике \(АВС\) с основанием \(АС\) к стороне \(ВС\) проведена высота \(АD\). Докажите, что \(2DС \cdot ВС = АС^2\).

Ответ

NaN

Решение № 39732:

По теореме Пифагора: \(AC^2 = AD^2 + DC^2\). \(AB^2 = AD^2 + BD^2\). По определению равнобедренного треугольника \(АВ = ВС\), тогда: \(AC^2 = AD^2 + DC^2 = (AB^2 - BD^2) + DC^2 = BC^2 - BD^2 + DC^2\), но \(BC = BD + DC\), значит: \(AC^2 = (BD + DC)^2 + DC^2 = BD^2\); \(AC^2 = BD^2 + 2BD \cdot DC + DC^2 + DC^2 - BD^2\); \(AC^2 = 2BD \cdot DC + 2DC^2\); \(AC^2 = 2DC(BD + DC) = 2DC \cdot BC\), что и требовалось доказать.