№39747
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
В треугольнике \(АВС\) для высоты \(СD\) и отрезков \(АD\) и \(ВD\), на которые она делит сторону \(АВ\), имеет место соотношение \(СD^2 = АD \cdot ВD\). Докажите, что угол \(АСВ\) прямой.
Ответ
NaN
Решение № 39731:
По теореме Пифагора: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AC^2 = AD^2 + DC^2\); \(BC^2 = DB^2 + CD^2\); \end{cases} \end{equation*} \) Складываем эти два уравнения: \(AC^2 + BC^2 = AD^2 + DB^2 + 2DC^2\), но \(DC^2 = AD \cdot DB\), тогда \(AC^2 + BC^2 = AD^2 + DB^2 + 2AD \cdot DB\), тогда \(AC^2 + BC^2 = (AD + DB)^2\). \(AD + DB = AB\), тогда \(AC^2 + BC^2 = AB^2\). По теореме, обратной теореме Пифагора, \(\Delta АВС\) - прямоугольный, что и требовалось доказать.