№39745

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Катет прямоугольного треугольника равен 18 см. Точка на этом ка­тете удалена от гипотенузы и другого катета на 8 см. Найдите периметр треугольника.

Ответ

72

Решение № 39729:

Дополнительное построение: \(BD\). Рассмотрим \(Delta ABD\) и \(\Delta EBD\): \(AD = DE\) - по условию; \(BD\) - общая сторона. По теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{BD^2 - AD^2} = \sqrt{BD^2 - ED^2} = BE\). Тогда \(\Delta ABD = \Delta EBD\) по двум сторонам и углу между ними. Значит, \(АВ = ВЕ\). По теореме Пифагора: \(EC = \sqrt{DC^2 - ED^2}\); \(DC = AC - AD = 18 - 8 = 10\) (см); \(EC = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6\) (см). По теореме Пифагора: \(AB^2 + AC^2 = BC^2\); \(AB^2 + AC^2 = (BE + EC)^2 = BE^2 + 2EB \cdot EC + EC^2 = AB^2 + 2AB \cdot EC + EC^2\). Тогда: \(AB = \fraq{AC^2 - EC^2}{2EC}\); \(AB = \fraq{18^2 - 6^2}{2 \cdot 6} = 24\) (см). \(P = AB + BE + EC + AC = 24 + 24 + 6 + 18 = 72\) (см).