№39739

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки длиной 16,5 см и 27,5 см. Найдите отрезки, на которые эта биссектриса делит боковую сторону треугольника.

Ответ

25;30

Решение № 39723:

По свойству биссектрисы для \(\Delta АЕВ\) и \(\Delta АСВ\): \(\fraq{AB}{AE} = \fraq{BO}{OE}\) и \(\fraq{AB}{AC} = \fraq{BD}{DC}\). По свойству высоты равнобедренного треугольника: \(AE = EC = \fraq{AC}{2}\), тогда: \(AC = 2АЕ\); \(\fraq{AB}{AC} = \fraq{1}{2}(\fraq{AB}{AE}) = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{BO}{OE}\); \(\fraq{AB}{AC} = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{27,5}{16,5} = \fraq{5}{6}\). Тогда \(\fraq{BD}{DC} = \fraq{5}{6}\). Пусть \(BD = 5х\), тогда \(DC =6x\). По определению равнобедренного треугольника: \(AB = BC\); \(AB = BD + DC = 5x + 6x = 11х\). \(\fraq{AB}{AC} = \fraq{5}{6}\), тогда \(AC = \fraq{6}{5} \cdot 11x = \fraq{66}{5}x\). Значит, \(ЕС = \fraq{1}{2}AC = \fraq{33}{5}х\). \(BE = OE + OB\); \(BE = 27,5 + 16,5 = 44\) (см). По теореме Пифагора для \(\Delta ВЕС\): \(BC^2 = EC^2 + BE^2\), \((11x)^2 = (\fraq{33}{5}x)^2 + 44^2\); \(121 \cdot 25x^2 - 33^2 \cdot x^2 = 44^2 \cdot 25\); \(1936х^2 = 48 400\); \(x^2 = 25\); \(x = 5\) (см). \(BD = 5x = 25\) (см); \(DC = 6x = 30\) (см).