№39737

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Биссектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на от­резки, разность которых составляет 5 см. Найдите стороны треугольника, если отношение катетов равно \(3 : 4\).

Ответ

21,28 см и 35 см.

Решение № 39721:

По свойству биссектрисы \(\fraq{AD}{AB} = \fraq{DC}{BC}\), или \(\fraq{AB}{BC} = \fraq{AD}{DC}\). Ho \(CD - DA = 5\) (см), тогда \(CD = 5 + DA\); \(\fraq{3}{4} = \fraq{DA}{5 + DA}\); \(DA = 15\) (см). Тогда \(CD = 20\) (см). \(AC - AD + DC\); \(AC = 15 + 20 = 35\) (см). Проведем высоту \(ВЕ\), тогда из соотношений в прямоугольном треугольнике: \(\fraq{AE}{EC} = \fraq{AB^2}{BC^2}\). \(AE = AC - EC\); \(\fraq{AC - EC}{EC} = \fraq{9}{16}\); \(25EC = 16AC\); \(EC = \fraq{16}{25} \cdot 35 = 22,4\) (см). Тогда \(AE = 35 - 22,4 = 12,6\) (см). По теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{AE^2 + EB^2}\) и \(BC = \sqrt{EC^2 + EB^2}\). Из метрических отношений: \(EB = \sqrt{AE \cdot EC}\); \(EB = \sqrt{12,6 \cdot 22,4} = 16,8\) (см); \(AB = \sqrt{12,6^2 + 16,8^2} = 21\) (см); \(BС = \sqrt{22,4^2 + 16,8^2} = 28\) (см).