№39727

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то суммы квадратов длин его противолежащих сторон равны. Докажите. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Ответ

NaN

Решение № 39711:

По теореме Пифагора: \(BC^{2} + AD^{2} = (BO^{2} + OC^{2}) + (AO^{2} + OD^{2}) = (BO^{2} + AO^{2}) + (OC^{2} + OD^{2}) = BA^{2} + CD^{2}\) Обратное утверждение: если суммы квадратов длин противолежащих сторон четырехугольника равны, то его диагонали перпендикулярны. Пусть утверждение не верно. Опустим на диагональ \(BD\) перендикуляры \(СО_{1}\) и \(AO_{1}\) По теореме Пифагора: \( \begin{equation*} \begin{cases} BO_{1}^{2} + O_{1}C^{2} = BC^{2} DO_{1}^{2} + O_{1}C^{2} = DC^{2} BO_{1}^{2} + O_{2}A^{2} = BA^{2} DO_{2}^{2} + O_{2}C^{2} = DA^{2} \end{cases} \end{equation*} \) Тогда \(BC^{2} + AD^{2} = BA^{2} + DC^{2}\) можно записать так: \(BO_{1}^{2} + O_{1}C^{2} + DO_{1}^{2} + O_{2}A^{2} = DO_{1}^{2} + O_{1}C^{2} + BO_{2}^{2} + O_{2}A^{2}\). Следовательно, \(BO_{1}^{2} + DO_{2}^{2} + DO_{1}^{2} - BO_{2}^{2} = 0\) \((BO_{1} - DO_{1}) \cdot (BO_{1} + DO_{1}) + (DO_{2} - BO_{2}) \cdot (DO_{2} + BO_{2}) = 0\), Но \(BO_{1} + DO_{1} = BD\) и \(BO_{2} + DO_{2} = BD\) и \(BD \neq 0\), тогда \(BO_{1} - DO_{1} + DO_{2} - BO_{2} = 0\) \((BO_{1} - BO_{2}) + (DO_{2} - DO_{1}) = 0\). \(O_{1}O_{2} + O_{1}O_{2} = 2 O_{1}O_{2} = 0\). Значит, точки \(O_{1}\) и \(O_{2}\) совпадают. Тогда \(CA \perp BD\).