№39726

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Докажите, что квадрат высоты равнобокой трапеции, описанной около окружности, равен произведению ее оснований.

Ответ

NaN

Решение № 39710:

В трапецию можно вписать окружность, если: \(AB + DC = BC + AD\). По определению равнобедренной трапеции \(AB = CD\), тогда \(АВ = \fraq{BC + AD}{2}\) Проведем высоты \(BM\) и \(CL\), тогда \(BMLC\) - прямоугольик по определению. По свойству прямоугольника \(ВС = ML\). Тогда \(AM = \fraq{AD - ML}{2} = \fraq{AD - BC}{2}\) По теореме Пифагора для \(\Delta АВМ : AB^{2} = BM^{2} + MA^{2}\), \(BM^{2} = \fraq{1}{4} BC^{2} + \fraq{1}{2} AD \cdot BC + \fraq{1}{4} AD^{2} - \fraq{1}{4} AD^{2} + \fraq{1}{2} AD \cdot BC - \fraq{1}{4}BC^{2} = AD \cdot BC\)