№39725

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Медиана и высота, проведенные к гипотенузе прямоугольного треугольника, равны соответственно \(25 см\) и \(24 см\). Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Ответ

Ответ: радиус вписанной окружности равен \(20 см\).

Решение № 39709:

По теореме Пифагора для \(\Delta MDC : СМ^{2} = MD^{2} + DC^{2}\) тогда \(DM = \sqrt{CM^{2} - DC^{2}}; \(DM = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7 (см)\). Из метрических соотношений для \(\Delta ACB : CD^{2} = AD \cdot DB\). Пусть \(DB = x\) тогда по определению медианы \(АМ = MB = \fraq{AB}{2}\) \(MB = MD + DB\); \(AM = MD + DB = x + 7\); \(AD = AM + MD = x + 7 + 7= x + 14\). \(CD^{2} = 576\). Тогда для \(x\) получили уравнение: \(576 = (х + 14) \cdot х\); \(x^{2} + 14 х - 576 = 0\). \(D_{1} = 49 + 576 = 625\); \(x= - 7 + 25 = 18 (см)\). \(DB = 18 cм\); \(AD = 18 + 14 = 32 (см)\); \(AB = 18 + 32 = 50 (см)\). По теореме Пифагора для \(\Delta ACD\) и \(\Delta CDB\): \(AC^{2} = AD^{2} + CD^{2}\) и \(CB^{2} = CD^{2} + DB^{2}\); \(AC = \sqrt{AD^{2} + CD^{2}}\) и \(CB = \sqrt{CD^{2} + DB^{2}}\), \(AC = \sqrt{32^{2} + 24^{2} = 40 (см)\); \(CB = \sqrt{24^{2} + 18^{2}} = 30 (см)\). Радиус вписанной окружности найдем как \(r = \fraq{2 \cdot AC \cdot CB}{AC + CB + AB}\) \(r = \fraq{2 \cdot 40 \cdot 30}{40 + 30 + 50}\) Ответ: радиус вписанной окружности равен \(20 см\).